agosto 21, 2025

Cubo 3×3×3 Entrelazado — Formalización matricial

El Cubo 3×3×3 Entrelazado: Base de Gell‑Mann (qutrit⊗qutrit⊗qutrit), Dephasing por celda y $I(A;\hat A)$

Plantilla académica auto-contenida para blog. Incluye ecuaciones (MathJax) y un ejemplo numérico interactivo.

1) Espacio de Hilbert y notación

Modelamos cada cubo (real R y virtual V) como un sistema de dimensión $d=27=3^3$. La base computacional es $\{|xyz\rangle\}_{x,y,z\in\{0,1,2\}}$; indexamos $|n\rangle$ con $n=x+3y+9z$.

Usaremos operadores tipo Heisenberg–Weyl para qutrit: $X|k\rangle=|k{+}1\,\text{mod }3\rangle$, $Z|k\rangle=\omega^k|k\rangle$, $\omega=e^{2\pi i/3}$. La base global puede tomarse como productos en las tres coordenadas: $X^{a_x}Z^{b_x}\otimes X^{a_y}Z^{b_y}\otimes X^{a_z}Z^{b_z}$ con $a_\bullet,b_\bullet\in\{0,1,2\}$.

2) Base de Gell‑Mann en qutrit y extensión a 27 dimensiones

Para un qutrit ($\mathrm{SU}(3)$) usamos las ocho matrices de Gell‑Mann $\{\lambda_i\}_{i=1}^8$ más la identidad $\lambda_0=\tfrac{1}{\sqrt{3}}\,\mathbb{I}_3$ para una base ortonormal (Hilbert–Schmidt). Explícitamente, en la base $\{|0\rangle,|1\rangle,|2\rangle\}$:

λ₁ = [[0,1,0],[1,0,0],[0,0,0]]        λ₂ = [[0,-i,0],[i,0,0],[0,0,0]]
λ₃ = [[1,0,0],[0,-1,0],[0,0,0]]       λ₄ = [[0,0,1],[0,0,0],[1,0,0]]
λ₅ = [[0,0,-i],[0,0,0],[i,0,0]]       λ₆ = [[0,0,0],[0,0,1],[0,1,0]]
λ₇ = [[0,0,0],[0,0,-i],[0,i,0]]       λ₈ = (1/√3)·diag(1,1,-2)

La base de operadores normalizada de un solo qutrit es $\{\Lambda_a\}_{a=0}^8$ con $\Lambda_0=\lambda_0$ y $\Lambda_{1..8}=\lambda_{1..8}/\sqrt{2}$, satisfaciendo $\mathrm{Tr}(\Lambda_a\Lambda_b)=\delta_{ab}$.

Para el cubo, una base ortonormal en $\mathbb{C}^{27}$ es el producto tensorial: $$\mathcal{B}=\big\{\Lambda_{a_x}\otimes\Lambda_{a_y}\otimes\Lambda_{a_z}\ :\ a_\bullet\in\{0,\dots,8\}\big\},$$ con $9^3=729$ elementos que expanden cualquier operador $O$ como $O=\sum_{a_x,a_y,a_z} c_{a_x a_y a_z}\,\Lambda_{a_x}\otimes\Lambda_{a_y}\otimes\Lambda_{a_z}$.

3) Entrelazamiento R–V y tensor de correlaciones

El estado maximamente entrelazado en $d=27$ es $$|\Phi_{27}\rangle=\tfrac{1}{\sqrt{27}}\sum_{n=0}^{26}|n\rangle_R\otimes|n\rangle_V,\qquad \rho_{RV}=|\Phi_{27}\rangle\!\langle\Phi_{27}|.$$ Definimos el tensor de correlaciones en la base $\mathcal{B}$: $$T_{abc,a'b'c'}=\mathrm{Tr}\big[\,(\Lambda_{a}\!\otimes\!\Lambda_{b}\!\otimes\!\Lambda_{c})\otimes(\Lambda_{a'}\!\otimes\!\Lambda_{b'}\!\otimes\!\Lambda_{c'})\,\rho_{RV}\big].$$ Para $|\Phi_{27}\rangle$, $T$ es diagonal (isotrópico) hasta factores de normalización.

4) Canal de dephasing por celda (qutrit) y por cubo

El dephasing qutrit en la base computacional se define como mezcla convexa entre identidad y «diagonalización» $\Delta$:

$$\mathcal{D}_\lambda(\rho)=(1-\lambda)\,\rho+\lambda\,\Delta(\rho),\qquad \Delta(\rho)=\sum_{k=0}^{2} |k\rangle\!\langle k|\,\rho\,|k\rangle\!\langle k|,\quad \lambda\in[0,1].$$

Una representación de Kraus válida es $$\mathcal{D}_\lambda(\rho)=K_0\rho K_0^\dagger+\sum_{k=0}^2 K_{k+1}\rho K_{k+1}^\dagger,$$ con $K_0=\sqrt{1-\lambda}\,\mathbb{I}_3$ y $K_{k+1}=\sqrt{\lambda}\,|k\rangle\!\langle k|$ (verifica $\sum_i K_i^\dagger K_i=\mathbb{I}_3$).

Para el cubo completo (tres qutrits independientes) aplicamos dephasing por coordenada y, si se desea, por las 27 celdas como canal factorizable: $$\mathcal{D}^{(\text{cubo})}_\lambda=\big(\mathcal{D}_\lambda\otimes\mathcal{D}_\lambda\otimes\mathcal{D}_\lambda\big)\quad\text{(qutrits)}\qquad\text{o}\qquad \mathcal{E}=\bigotimes_{r=1}^{27}\mathcal{E}_r\ \text{(celdas)}.$$

5) Codificación unitaria y no‑señalización

Codificamos un mensaje $\alpha$ aplicando en R una unitaria tomada de una base ortogonal (Heisenberg–Weyl en 27D): $$\rho_{RV}^{(\alpha)}=(U_\alpha\otimes\mathbb{I})\,\rho_{RV}\,(U_\alpha^\dagger\otimes\mathbb{I}).$$ Por no‑señalización, el marginal del receptor no cambia: $\rho_V^{(\alpha)}=\mathrm{Tr}_R\,\rho_{RV}^{(\alpha)}=\tfrac{1}{27}\,\mathbb{I}$. Lo que sí cambia son las correlaciones $T^{(\alpha)}$ medibles con tomografía conjunta o protocolos como densa codificación/teleportación.

6) Métrica y caso numérico: $I(A;\hat A)$ bajo dephasing

Para ilustrar, modelamos el enlace efectivo como un canal binario simétrico que intenta distinguir dos codificaciones $\alpha\in\{0,1\}$ (por ejemplo $U_0=\mathbb{I}$, $U_1=X$ en cada qutrit). Suponemos que el dephasing independiente en las tres coordenadas reduce la «visibilidad» multiplicativamente, de modo que la probabilidad de acierto es $q(\lambda)=(1-\lambda)^3$ y el canal tiene error $\varepsilon(\lambda)=1-q(\lambda)$.

Este es un modelo ilustrativo para cuantificar impacto del ruido; en un análisis completo se optimiza la medición conjunta en 27D y se evalúa la matriz de confusión real a partir de $T^{(\alpha)}$.

Para entradas equiprobables, el canal binario simétrico tiene información mutua $$I(A;\hat A)=1-H_2\big(\varepsilon(\lambda)\big),\qquad H_2(p)=-p\log_2 p-(1-p)\log_2(1-p).$$

Explorador interactivo

Intensidad de dephasing λ:

q(λ)=(1-λ)^3 =
ε(λ)=1-q(λ) =
I(A;Â)=1−H₂(ε) = bits

Tabla de valores

7) Protocolos consistentes con la física

Densa codificación d‑dimensional: aplicar $U_\alpha$ en R y transferir físicamente el cubo real para medir en base de Bell 27D (hasta $2\log_2 27$ bits/portador en el ideal).
Teleportación: medición de Bell en R + comunicación clásica de los resultados + corrección unitaria en V.
Acoplo Hamiltoniano efectivo: $H_{RV}=\sum_r g_r\,\Lambda_r^{(R)}\otimes\Lambda_r^{(V)}$ para transferencia dinámica sin violar causalidad.

8) Referencias mínimas sugeridas

Nielsen & Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, 10th Anniversary Ed.
Wilde, Quantum Information Theory.
Werner states, isotropic states y d‑dimensional Bell measurements (artículos de revisión).

9) Apéndice: fórmulas rápidas

Base Heisenberg–Weyl qutrit: $X^aZ^b$, con $a,b\in\{0,1,2\}$ y $ZX=\omega XZ$. Canal de dephasing por celda: $\mathcal{D}_\lambda$ arriba. Métrica de separación correlacional: $\lVert T^{(\alpha)}-T^{(\beta)}\rVert_F$.

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